Лекция 5. Основные дискретные распределения

1. Биномиальное распределение

Определение 1.   Дискретная СВ X с реализациями x_k= k, k = 0,n, имеет биномиальное распределение с параметрами n и p О [0,1], что символически обозначается как X ~ Bi(n, p), если вероятность события {X = x_k} определяется формулой Бернулли:

pk

Δ =

P{X = xk}

Δ =

Pn(k)

Δ =

Cnkpkqn-k ,   q = 1 - p.

Замечание 1.   Пусть опыт G повторяется n раз в одних и тех же условиях, при этом событие A появляется при каждом повторении опыта с одной и той же вероятностью

p

Δ =

P(A).

Тогда по теореме Л3.Р5.Т1 вероятность появления события A ровно k раз при n повторениях опыта G определяется формулой Бернулли P_n(k) = C_n^kp^kq^n-k , т.е. случайная величина X, являющаяся числом появления события A при n повторениях опыта, имеет биномиальное распределение. Заметим, что формула Бернулли совпадает с выражением для (k + 1)-го слагаемого в разложении бинома Ньютона (p + q)ⁿ, и поэтому такое распределение и называется биномиальным.

Замечание 2.   Характеристическая функция СВ X ~ Bi(n, p):

g(t)

Δ =

n  ∑  k=0

pkeitk =

n  ∑  k=0

Cnk(peit)kqn-k =

Пример 1.   Монету бросают три раза. Требуется найти ряд распределения числа X выпавших "гербов". СВ X распределена по биномиальному закону с параметрами n = 3 , p = 1/2 . Поэтому

2. Распределение Бернулли

Определение 1.   Биномиальное распределение Bi(1, p) с параметрами n = 1 и p О [0,1] называется распределением Бернулли.

Замечание 1.   Для распределения Bi(1, p) имеем по замечанию 2 из предыдущего раздела g(t) = q + pe^it, m_x = p, d_x = p(1-p).

Замечание 2.   Распределение Бернулли Bi(1, p) играет фундаментальную роль в теории вероятностей и математической статистике, являясь математической моделью опыта с двумя исходами (см. замечание Л10.Р2.З6).

Замечание 3.   Если X_m, m = 1,n, - независимые СВ (см. понятие Л9.Р1.О5) с распределением Bi(1, p), тогда СВ

X

Δ =

n  ∑  m=1

Xm

имеет распределение Bi(n, p).

Пример 1.   Пусть имеется партия некоторого товара, в котором товар с дефектами встречается с вероятностью 1 - p, а товар без дефектов - с вероятностью p. Положим x₀ = 1, если попался товар без дефектов, и x₁ = 0, если товар с дефектом. Тогда "качество" товара можно описать случайной величиной, имеющей распределение Бернулли Bi(1, p).

3. Распределение Пуассона

Определение 1.   Дискретная СВ X с реализациями x_k = k, k = 0,1,... имеет распределение Пуассона с параметром a > 0, что символически записывается как X ~ П(a), если

pk

Δ =

P{X = xk } =

ak   k!

e-a.

Замечание 1.   Найдём Характеристическую функцию СВ X ~ П(а):

g(t)

Δ =

∞  ∑  k=0

pkeitk =

∞  ∑  k=0

ak   k!

e-aeitk =

= e-a

∞  ∑  k=0

(aeit)k     k!

= e-aeae

it

= ea(e

it

-1) .

По свойству 3)g(t) получаем математическое ожидание и дисперсию

mx

Δ =

ν1 =

1   i

d dt

g(t)

|

t =0

=

1  i

[a i eitea(e

it

-1)]

|

t =0

= a ;

ν2 =

1  i2

d2 dt2

g(t)

|

t =0

=

a  i

[i eitea(e

it

-1)]

|

t =0

= a(1+a) ;

Замечание 2.   Для распределения Пуассона характерно числовое равенство m_x = d_x = a, но при этом физические размерности m_x и d_x не совпадают.

Замечание 3.   Распределение Пуассона широко используется в теории массового обслуживания. Приведем пример типичной ситуации, когда возникает такое распределение.

Пример 1.   Пусть на телеграфную станцию в произвольные моменты времени случайным образом поступают заявки на переговоры с городом N так, что выполняются два условия:
    а) вероятность появления любого количества заявок за какой-либо отрезок времени не зависит от того, сколько их поступило за любой другой, не пересекающийся с ним отрезок, т.е. заявки распределяются на оси времени t независимо друг от друга. Это условие независимости;
    б) вероятность появления за достаточно малый интервал времени длины Δt двух и более заявок пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью поступления в течении этого интервала времени не более одной заявки, которая пропорциональна Δt с коэффициентом пропорциональности a. Это условие ординарности.
    В данном случае можно показать, что СВ X, равная числу заявок, поступивших на телефонную станцию за единицу времени имеет распределение П(a), где a - среднее число заявок, поступающих в единицу времени.

Замечание 4.   Между биномиальным распределением Bi(n, p) и распределением Пуассона П(a) имеется следующая связь.

Теорема 1.  (Пуассона) Пусть n → ∞, p → 0 и при этом np ≡ a = const. Тогда

Pn(k) →

ak   k!

e-a ,

где Pn(k)

Δ =

Cnkpkqn-k ,   k = 0,n .

Замечание 5.   Докажем это утверждение, пользуясь замечательным пределом (1 - a/n)ⁿ → e^-a при n → ∞. Так как здесь p = a/n, q = 1 - a/n, то по определению Л5.Р1.О1 получаем

l i m   n → ∞

Pn(k) =

l i m   n→∞

n(n-1)...(n-k+1)         k!

(a/n)k(1-a/n)n-k =

=

ak k!

l i m   n→∞

n(n-1)...(n-k+1)        nk

(1-a/n)n (1-a/n)k

=

ak   k!

e-a.

Замечание 6.   Таким образом, при больших n и малых p (при редких явлениях) выполняется закон малых чисел, в соответствии с которым сложное двухпараметрическое биномиальное распределение Bi(n, p) можно приближенно заменить однопараметрическим распределением Пуассона П(а), где а = nр. При этом ошибка от такой замены не превышает np², т.е.

|Cnkpkqn-k -

(np)k   k!

e-np | ≤ np2.

Если условия теоремы Пуассона не выполняются, т.е. p достаточно велико, то существует другая оценка P_n(k) (см. теорему Муавра-Лапласа Л11.Р2.З3), которая основана на законе больших чисел.

Пример 3.   Пусть некоторая система содержит 5000 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого равна 0.001. Найдем вероятность отказа системы, если известно, что он происходит при отказе двух и более ее элементов. Число отказавших элементов является СВ X ~ Bi(5000,0.001). Поскольку значение n = 5000 велико, p = 0.001 мало (а = np = 5) и, кроме того, np² = 0.005 - приемлемая точность, то воспользуемся замечанием 4:

Лекция 6.
Оглавление